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    Con WEBpatente 2. Il prof. WEBpatente 2. Che cosa c'era di nuovo? La novità più rilevante era l'introduzione del salvataggio delle statistiche dell'utente, attraverso i cookie. Intanto il prof. Mastri aveva messo da parte Netscape ed usava Internet Explorer 6.

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    Inoltre, alcuni eventi, in linea di principio, non sono ripetibili Definizione soggettivista Nelle definizioni presentate in precedenza, la probabilità viene considerata come un valore oggettivo assegnato agli eventi.

    Seguendo questa interpretazione, alcuni matematici per esempio, de Finetti , hanno considerato la probabilità come una misura del grado di fiducia che un individuo attribuisce, in base alle informazioni possedute, al verificarsi dell evento.

    Pertanto, nell impostazione soggettivista, detta anche bayesiana, la probabilità dipende dalla persona che la valuta e dalle informazioni disponibili.

    Il dibattito tra l approccio frequentista e quello soggettivista o bayesiano è tuttora in corso e riguarda non solo la definizione ma anche l uso della probabilità nella pratica delle scienze applicate Definizione assiomatica Nonostante le contrapposizioni interne al dibattito sui fondamenti della probabilità, le applicazioni della teoria della probabilità si sono velocemente estese a tutte le scienze e a tutti i campi dell attività umana.

    Nel ventesimo. A seguito del lavoro di Borel sulla teoria degli insiemi, A. In base a tale approccio, le probabilità vengono assegnate agli eventi sulla base di alcuni assiomi che non si dimostrano, in quanto sono dei principi di base universalmente accettati. La teoria assiomatica della probabilità ha avuto ampia accettazione in quanto, con alcuni compromessi, le proprietà delle diverse definizioni della probabilità classica, frequentista, soggetivista possono essere comprese all interno della teoria proposta da Kolmogorov Definizione assiomatica della probabilità Esaminiamo ora più in dettaglio la definizione assiomatica di probabilità.

    Consideriamo un fenomeno aleatorio, il corrispondente spazio campionario S, e gli eventi su di esso definiti. Consideriamo il caso in cui S è uno spazio campionario finito. Indichiamo con M l insieme delle parti di S. Nel caso di uno spazio campionario finito le tre espressioni funzione di probabilità, distribuzione di probabilità e modello di probabilità sono equivalenti. Esempio Costruiamo la funzione di probabilità che descriva l esperimento casuale consistente nel lancio di un dado.

    Come insieme degli eventi Fprendiamo l insieme delle parti di S. La funzione di probabilità P associa a ogni elemento di S un numero reale. Infatti, la probabilità di un evento generico A è la somma delle probabilità degli eventi elementari che lo costituiscono. Esempio Un sacchetto contiene un uguale numero di palline rosse, gialle, arancioni, verdi e blu. Una pallina viene scelta a caso.

    I cinque colori sono egualmente probabili Probabilità con R Il pacchetto prob di R contiene una serie di funzioni che possono essere usate per il calcolo delle probabilità nel caso di spazi campionari finiti. Questo risultato si ottiene usando la funzione probspace. Esempio Si consideri l esperimento che consiste nel lancio di due monete. Qual è la probabilità testa nel primo lancio? Siano A l evento croce nel primo lancio e B l evento due volte testa.

    Si trovi la probabilità P A B. La funzione subset crea un sottoinsieme dello spazio campionario sulla base delle condizioni logiche che vengono specificate che sono applicate a ciascuna riga di S. La funzione union crea un oggetto che è l unione dei due oggetti specificati come argomenti.

    Infinte, la funzione Prob somma i valori contenuti nella colonna probs dell oggetto creato da union Spazi campionari infiniti È relativamente facile assegnare le probabilità agli eventi definiti su uno spazio campionario finito di piccole dimensioni, come quelli discussi negli esempi precedenti.

    Ma le probabilità possono anche essere assegnate anche agli eventi definiti su uno spazio campionario costituito da un numero infinito di elementi. In questo caso, il problema diventa più difficile.

    Denotando con M tale sottoinsieme, esso avrà le seguenti proprietà: 1. In sommario, anche nel caso di uno spazio campionario con cardinalità infinita le probabilità si assegnano agli eventi usando la procedura vista in precedenza. La probabilità condizionata P A B rappresenta la probabilità che si verifichi l evento A sapendo che si è verificato l evento B; oppure: la probabilità di A in una prova valida solo se si verifica anche B. Dato un qualsiasi evento A M, si chiama. Consideriamo il seguente esempio.

    Uno psicologo esamina 60 cartelle cliniche focalizzandosi su due dimensioni: il genere e la presenza di una sintomatologia ansiosa.

    La tabella include i totali di riga e di colonna, chiamati marginali di riga e di colonna, e il numero totale dei casi.

    La distribuzione di probabilità congiunta viene determinata a partire dalla tabella di contingenza in maniera tale che la probabilità dell evento Ansia Genere sia data dalla proporzione di casi che soddisfano congiuntamente entrambe le condizioni incrocio colonna Ansia e riga Genere. Si noti inoltre che la somma delle probabilità congiunte sia unitaria. Qual è la probabilità che una cartella estratta a caso appartenga ad un paziente maschio che soffre di un disturbo di ansia?

    Avendo estratto a caso la cartella di un paziente maschio, qual è la probabilità che questa riporti la presenza di un disturbo di ansia? Queste due domande fanno riferimento ad eventi diversi. Esempio Estraendo una carta da un mazzo di 52, qual è la probabilità che esca una figura di cuori?

    Sapendo che il seme della carta estratta è cuori, qual è la probabilità che il valore numerico della carta sia 7, 8, o 9? Per rispondere alla seconda domanda consideriamo solo le 13 carte di cuori.

    L insieme A viene creato quale sottoinsieme di S usando la funzione subset e specificando che la colonna rank seme deve assumere il valore Hart cuori. Infine, l argomento given passato alla funzione Prob viene usato per specificare la probabilità condizionata.

    Questo errore è stato chiamato inverse fallacy Koehler A questo proposito, è stato notato che i medici talvolta tendono a considerare la probabilità della presenza di un sintomo, data una diagnosi di una malattia, come un valido criterio per diagnosticare la malattia in presenza del sintomo.

    In un esperimento, infatti, Hammerton, ha osservato che i giudizi della probabilità P malattia sintomo erano circa uguali ai giudizi della probabilità P sintomo malattia. Questi errori di giudizio sono stati attribuiti alla tendenza degli individui di ignorare la probabilità dell incidenza del fenomeno considerato per esempio, la malattia.

    La procedura per il calcolo della probabilità a posteriori, cioè la probabilità che si ottiene dopo avere acquisito evidenze ulteriori, è specificato dal teorema di Bayes e verrà discussa nella Esempio Paradosso dei due bambini.

    Una coppia ha due bambini. Almeno uno dei due è una femmina. Qual è la probabilità che siano entrambe femmine? Qual è la probabilità che siano entrambe femmine, sapendo che il primogenito è una femmina?

    Nell ipotesi che maschi e femmine abbiano la stessa probabilità di nascere, si ha che. In realtà, vedremo in seguito come, nella maggior parte dei paesi, la probabilità che un neonato sia maschio è pari a 0.

    Esempio Risolviamo ora il paradosso dei due bambini usando le funzioni del pacchetto prob. Usiamo la funzione tosscoin assegnando ad H il significato femmina. La prima domanda diventa dunque qual è la probabilità di osservare due teste in due lanci di una moneta, sapendo che è stata ottenuta testa almeno una volta. Esempio Da un urna contenente 6 palline bianche e 4 nere si estrae una pallina per volta, senza reintrodurla nell urna.

    Indichiamo con B i l evento: esce una pallina bianca alla i-esima estrazione e con N i l estrazione di una pallina nera.

    Sia W pallina bianca e B pallina nera. La funzione urnsamples elenca tutti i possibili esiti che si possono osservare nel caso di un estrazione da un urna avente i parametri specificati. Definizione Due eventi A e B si dicono indipendenti quando la conoscenza del verificarsi di uno dei due non fornisce alcuna informazione sul verificarsi dell altro. Sia S, M, P uno spazio di probabilità. La definizione precedente esprime il concetto intuitivo di indipendenza di un evento da un altro, nel senso che il verificarsi di A non influisce sulla probabili-.

    Infatti, per la definizione Definizione Se due eventi con probabilità non nulla sono statisticamente indipendenti, la legge delle probabilità totali espressa dalla Questi eventi sono statisticamente indipendenti? Esempio Si consideri l esperimento casuale consistente nel lan-. Siano il primo lancio produce testa l evento A; il secondo lancio produce testa l evento B; entrambi i lanci producono lo stesso esito l evento C. Quindi i tre eventi sono indipendenti a coppie. Dunque i tre eventi non sono mutuamente indipendenti Giochi dei dadi e probabilità Consideriamo il fenomeno aleatorio consistente nell osservazione dei punti ottenuti dal lancio di una coppia di dadi a sei facce.

    In questo modo si costruisce la distribuzione di probabilità indicata sopra. Esempio Qual è la probabilità che la somma dei punti ottenuti nel lancio dei due dadi sia uguale a 7? Esempio Si calcoli la probabilità che il lancio del primo dado produca un numero minore di 3 e il lancio del secondo dado produca un numero dispari.

    Esempio Si calcoli la probabilità di ottenere 3 con il lancio del primo dado. Esempio Si calcoli la probabilità di ottenere 3 con il secondo dado dato che il primo dado ha prodotto 4. Gli eventi A e C sono tra loro indipendenti? La probabilità che un individuo faccia uso di droghe pesanti dato che fuma marijuana piuttosto bassa non è uguale alla probabilità che un individuo fumi marijuana dato che fa uso di droghe pesanti molto alta. Il teorema di Bayes esplicita la relazione che intercorre tra la probabilità condizionata di A dato B e la probabilità condizionata di B dato A.

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    Presentiamo innanzitutto il teorema di Bayes nella sua forma più generale per poi considerare in seguito un caso specifico. La prima condizione stabilisce che A, B sono due eventi incompatibili; la seconda impone che il loro insieme sia esaustivo. È chiaro per le ipotesi fatte che se si verifica C deve anche essersi verificato almeno uno degli eventi A e B.

    La formula è utile in molte applicazioni perché consente di valutare la probabilità dell evento E se sono note le probabilità condizionate P E A i e le probabilità a priori P A i.

    La valutazione delle probabilità a posteriori viene richiesta in molte situazioni della vita reale, quali la diagnosi medica e la presa di decisione in ambito forense, ed errori a questo proposito comportano conseguenze gravi. Si consideri, per esempio, un medico che conosce a priori, prima dell esame di paziente, la probabilità di osservare la malattia X cioè, conosce l incidenza della malattia X nella popolazione. Se il paziente presenta un sintomo diagnostico per la malattia X, il medico deve rivedere la probabilità che la malattia X sia effettivamente presente, considerate le evidenze fornite dalla nuova osservazione.

    Denotiamo con M la presenza della malattia e con S la presenza del sintomo. Nel caso di temi sensibili, le interviste dirette ottengono un alto tasso di non risposta oppure di risposte non oneste e quindi, generalmente, producono informazioni poco utili. Consideriamo il seguente esempio di tecnica di risposta randomizzata. All intervistato viene detto di usare una moneta e di lanciarla in privato, senza che nessuno possa vedere l esito del lancio.

    L intervistato stabilisce in base al risultato del lancio della moneta se rispondere al quesito sul tema sensibile o a un altra domanda innocua. Per esempio, se la moneta dà testa, l intervistato risponde al quesito hai mai usato una sostanza illecita a fini ricreativi; se la moneta dà croce, risponde al quesito sei nato nella prima parte dell anno, tra gennaio e giugno inclusi? Gli individui intervistati forniscono la loro risposta, ma senza dire a quale quesito hanno risposto.

    Da un. Sia Q S il quesito sensibile e Q I il quesito innocuo. In effetti, 15 indossavano le scarpe da ginnastica, il che mostra come la tecnica di intervista a risposta randomizzata produca risultati ragionevoli Test diagnostici Una utile applicazione del calcolo delle probabilità in campo medico è quella ai test diagnostici.

    Il risultato di un test si dice positivo quando indica la presenza della malattia, negativo quando sembra escluderla. Il test fornisce un risultato corretto nei casi 1 e 4 mentre commette un errore nei casi 2 e 3. Si dice sensibilità del test la probabilità di un vero-positivo ovvero la probabilità che il test sia positivo per un soggetto malato. Il problema che ci poniamo è: qual è la probabilità che un individuo risultato positivo al test sia effettivamente malato?

    Esempio I test HIV di quarta generazione hanno una sensitività del La probabilità di essere infetto da HIV, essendo risultato positivo al test, risulta dunque essere uguale a.

    Per risolvere questo problema si ricorre alla strategia di calcolare la probabilità del verificarsi dell evento complementare, ovvero la probabilità che, in un gruppo di k persone, non ci siano due persone con lo stesso giorno di compleanno.

    Sia B l evento per cui due persone festeggiano il compleanno nello stesso giorno dell anno. Consideriamo un gruppo di due persone. Consideriamo ora un gruppo di tre persone. La variazione di P B in funzione di k è riportata nella Figura Lo script R utilizzato per trovare il risultato è riportato qui sotto. Se escludiamo la possibilità che qualcuno possa compiere gli anni il 29 febbraio, ci sono k esiti possibili. Il risultato per cui, nel caso di 23 persone, la probabilità che almeno due persone compiano gli anni il medesimo giorno è maggiore di 0.

    In tali circostanze, il calcolo delle probabilità è molto semplice: se A è un evento costituito da s eventi elementari, con s n, allora la probabilità di A è data dal rapporto tra il numero s di eventi elementari contenuti in A e la cardinalità S dello spazio campionario.

    Il caso di S finito e di eventi elementari equiprobabili è quello considerato dalla definizione classica della probabilità. Risultano utili a questo proposito le tecniche del calcolo combinatorio che ci offrono una serie di strumenti per effettuare in un modo efficiente il conteggio dei casi favorevoli e dei casi possibili. Il calcolo combinatorio ha come oggetto il calcolo della cardinalità numero degli elementi di particolari insiemi finiti costruiti combinando, secondo regole assegnate, gli elementi di uno o più insiemi dati.

    I metodi di base del calcolo combinatorio applicano di due principi: la regola del prodotto e la regola della somma Principio del prodotto e principio della somma Teorema Se tutte le stringhe che identificano le targhe sono egualmente probabili, qual è la probabilità che una targa estratta a caso inizi con GZN?

    La soluzione è data dal numero di targhe che iniziano con GZN diviso per il numero totale di targhe possibili. Per calcolare il numero di targhe che iniziano con GZN, si considerino tutte le targhe che hanno la forma GZN Per i tre simboli mancanti ci sono possibilità.

    Se i sottoinsiemi S 1, Esempio L urna A contiene 5 palline numerate da 1 a 5, l urna B contiene 6 palline numerate da 6 a 11, l urna C contiene 3 palline numerate da 12 a 14 e l urna D contiene 2 palline numerate 15 e Quanti insiemi composti da due palline, ciascuna estratta da un urna differente, si possono formare? Definizione Si definisce modello dell urna la procedura per cui, da un urna contenente n palline, si estraggono a caso k palline.

    Le palline possono essere tutte diverse, oppure alcune palline possono essere tra loro indistinguibili. Fra le possibili modalità di estrazione, hanno speciale interesse l estrazione Bernoulliana di k palline ottenuta estraendo, una dopo l altra, k palline, e rimettendo ogni volta nell urna la pallina estratta, l estrazione senza ripetizione di k palline ottenuta estraendo, una dopo l altra, k palline, senza rimetterle nell urna, e l estrazione in blocco di k palline ottenuta estraendo k palline simultaneamente Campionamento dall urna con R La funzione urnsamples x, size, replace, ordered del pacchetto prob di R consente di elencare tutti i campioni che possono essere estratti dall urna sotto le condizioni specificate.

    L argomento x rappresenta l urna, l argomento size specifica la grandezza del campione e gli argomenti ordered e replace specificano le caratteristiche del processo di campionamento, come indicato nel seguito. Nel caso di campioni di ampiezza 2 estratti da un urna con tre elementi, abbiamo i seguenti quattro casi.

    Le permutazioni semplici si indicano con il simbolo P n. Il modello dell urna è quello di n estrazioni senza rimessa da un urna che contiene n palline diverse. Per definizione 0! Osservazione Il pacchetto prob di R contiene una serie di funzioni che possono essere usate per il calcolo combinatorio.

    Nel modello dell urna, le permutazioni semplici sono assimilabili a estrazioni senza rimessa nelle quali l ordine di estrazione viene tenuto in considerazione. La funzione urnsamples ci consente di elencare tutte le permutazioni semplici. È invece sufficiente calcolare la cardinalità dello spazio campionario S.

    Il primo argomento di nsamp indica il numero di elementi contenuti nell urna e k è la grandezza dei campioni estratti dall urna. Il significato degli ultimi due argomenti è lo stesso che nella funzione urnsamples. Le permutazioni semplici si applicano al caso di parole costituite da lettere tutte diverse tra loro. Ci sono 52! Per un primo gruppo di soggetti, l espressione usata era ; per un secondo gruppo l espressione era Tversky and Kahneman hanno trovato che, per la sequenza discendente, la mediana della stima era di 2, mentre, per la sequenza ascendente, la mediana dei giudizi era pari a In realtà, la risposta corretta è 40, Tversky and Kahneman hanno attribuito questo errore sistematico nei giudizi dei soggetti al fatto che i soggetti tendono ad estrapolare il risultato di 8!

    Tuttavia, il prodotto fattoriale è caratterizzato da un tasso di crescita molto grande, maggiore di quello che solitamente immaginiamo. Inoltre, le estrapolazioni da valori più piccoli producono stime minori di quelle che risultano intuitive utilizzando valori più grandi Permutazioni di n elementi non tutti diversi Definizione Nel caso di n elementi non tutti diversi tra loro, alcune permutazioni risultano uguali e dunque il numero totale di permuta-.

    Pn, è quello di n estrazioni senza rimessa da un urna che contiene n palline non tutte distinte tra loro. Le disposizioni semplici della classe k si indicano con D n,k. Teorema Il numero delle disposizioni semplici di n elementi distinti della classe k è uguale a n!

    Le disposizioni con ripetizione si indicano con il simbolo D r n,k. Il modello dell urna è quello di k estrazioni con rimessa da un urna che contiene n palline diverse. Le combinazioni semplici della classe k si indicano con il simbolo C n,k. Il modello dell urna è quello dell estrazione senza reimmissione di k palline da un urna che contiene n palline distinte tra loro: non c è la ripetizione di elementi né un ordine di estrazione.

    Le combinazioni semplici differiscono dalle disposizioni semplici perché le disposizioni semplici tengono conto dell ordine di estrazione mentre nelle combinazioni semplici si considerano distinti solo i raggruppamenti che differiscono almeno per un elemento. Gli elementi di ciascuna combinazione di k oggetti possono essere ordinati tra loro in k! Alcuni valori comuni del coefficiente binomiale sono riportati di seguito.

    Infatti, applicando l equazione otteniamo. Uno dei loro esperimenti riguarda il coefficiente binomiale. Ad un gruppo di soggetti è stato chiesto di stimare il numero di possibili comitati di grandezza r che possono essere formati con 10 persone.

    Sono stati considerati i valori di r che vanno da due a otto. Infatti, Tversky and Kahneman hanno spiegato i risultati ottenuti come un esempio dell euristica della disponibilità, ovvero la tendenza ad assegnare frequenze maggiori ad eventi che più facilmente possono essere richiamati alla mente. Dato che è più semplice immaginare la composizione di comitati composti da due persone anziché da otto, Tversky and Kahneman predissero che stima della frequenza sarebbe diminuita all aumentare del numero dei membri dei comitati.

    Come indicato nella figura Figura In questo modo ogni gruppo differirà dall altro per almeno un elemento o per quante volte è presente un elemento. Le combinazioni con ripetizione della classe k si denotano con il.

    Si verifichi anche che che l algoritmo sia corretto, ovvero che produca un risultato equilibrato quando vengono confrontati due dadi onesti con punti da 1 a 6. Si confrontino i risultati ottenuti con quelli riportanti nella figura Un esperimento consiste nel lanciare insieme due dadi a sei facce.

    A: esce un 1 o un 2 nel primo lancio; B: i due lanci producono un punteggio totale uguale a Gli eventi A e B sono disgiunti? Per l esperimento casuale descritto nell esercizio Una paziente è scelto a caso.

    Qual è la probabilità che manifesti palpitazioni o tremori? Che non manifesti né palpitazioni né tremori? Una moneta onesta viene lanciata due volte. Sapendo che il primo lancio ha prodotto testa, si trovi la probabilità che l esito testa venga trovato in entrambi i lanci.

    Tra questi, 12 femmine e 18 maschi soffrono d insonnia. Un paziente viene scelto a caso. Se sappiamo che il paziente selezionato è una femmina, qual è la probabilità che soffra d insonnia? Nel lancio di un dado sia A l evento esce un numero dispari, B l evento esce un numero pari. Da un mazzo di 52 carte se ne sceglie una a caso. Quanto vale la probabilità di estrarre una figura o una carta di fiori?

    E quella di estrarre una figura e un fiori? Determinare P B nel caso in cui: 1 A e B sono eventi incompatibili. Dati 5 punti su un cerchio, quante rette si possono tracciare congiungendo i punti a due a due? Un palindromo è una sequenza di caratteri che, quando viene letta a rovescio, rimane identica. Il comune di Ateleta, sito in provincia dell Aquila, presenta nel suo nome un palindromo. Si considerino tutte le sequenze possibili costituite dalle lettere D, O, G. Se una di tali sequenze viene estratta a caso, qual è la probabilità che sia un palindromo?

    Si consideri l esperimento casuale corrispondente al lancio di due dadi onesti. Sapendo che un paziente scelto a caso manifesta disturbi d umore, qual è la probabilità che il paziente manifesti anche difficoltà nella concentrazione? Una carta viene estratta a caso da un mazzo da poker.

    Sia A l evento fiori e B l evento asso. I due eventi A e B sono indipendenti? Si lanciano due dadi. Qual è il numero delle possibili coppie di risultati? Si lanciano tre dadi. Qual è il numero delle terne possibili? Sia X la somma dei puntini ottenuti nel lancio di due dadi. Qual è la probabilità che X assuma un valore maggiore di 10? Sia X la somma dei puntini ottenuti nel lancio di 4 dadi. Qual è la probabilità che X assuma un valore di almeno 23?

    Da un mazzo di carte da poker vengono estratte due carte. Quante coppie di carte possono essere estratte nell ipotesi che le carte vengano estratte a contemporaneamene, b successivamente, con reimmissione della carta nel mazzo, c successivamente, senza reimmissione della carta nel mazzo Si lanciano due dadi. Determinare il numero di coppie che presentano tutte e due le facce pari Si lanciano 5 monete. Calcolare il numero dei gruppi che si possono formare in modo che la faccia testa sia presente comunque nella prima e nelle ultime due estrazioni Un urna è composta da 10 palline rosse, 5 nere e 5 bianche.

    Si estraggono due palline contemporaneamente. Calcolare quante coppie di palline di colore bianco è possibile ottenere Un urna è composta da 10 palline rosse, 5 nere e 5 bianche.

    Calcolare quante coppie di palline di colore non rosso è possibile ottenere Un urna è composta da 10 palline rosse, 5 nere e 5 bianche. Calcolare quante coppie di palline di eguale colore è possibile ottenere. La mia tesi, paradossale e un po provocatoria, ma genuina, è che semplicemente la probabilità non esiste.

    Bruno de Finetti I concetti chiave sono le variabili aleatorie discrete e continue, le distribuzioni di probabilità per variabili discrete, il valore atteso, la varianza e la deviazione standard di una variabile aleatoria discreta e infine la covarianza tra due variabili aleatorie Variabili aleatorie Il risultato di una prova di un generico esperimento casuale non produce sempre un risultato numerico si pensi per esempio al lancio di una moneta.

    Tuttavia, siamo spesso interessati ad associare un numero all esito di ogni prova dell esperimento casuale.

    Questo ci conduce alla definizione di variabile aleatoria abbreviata nel seguito con v. Il dominio di X è S e il codominio è l asse dei numeri reali R. Una v. Osservazione Per semplicità, per riferirsi ad una v. Si denotano con lettere romane maiuscole le v. X assuma il valore x.

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    Le distribuzioni di probabilità costituiscono il fondamento degli sviluppi teorici e delle applicazioni della statistica. Vedremo a breve le definizioni formali di alcune distribuzioni di probabilità e le formule che vengono usate per descriverle. Per introdurre questi concetti, consideriamo innanzitutto un esempio derivato dai giochi dei dadi. Questo ci consentirà di sviluppare una comprensione intuitiva dei concetti che verranno presentati poi in maniera più formale.

    Consideriamo il fenomeno aleatorio consistente nell osservazione dei punti ottenuti dai lanci di una coppia di dadi si veda il. X è un numero compreso tra 2 e Rifacciamo ora i calcoli precedenti usando R.

    Facendo riferimento ai risultati riportati nella Tabella L insieme A è creato selezionando le righe di S che soddisfano entrambe le condizioni logiche specificante in subset : il fatto che la somma delle due v. Si noti come, all aumentare del numero di ripetizioni dell esperimento casuale, le frequenze relative probabilità empiriche approssimano sempre meglio la distribuzione di probabilità della v. Questo fatto va sotto il nome. A: lanci; B: , lanci. Definizione In una serie di prove ripetute un gran numero di volte nelle stesse condizioni, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza relativa che è circa uguale alla sua probabilità.

    L approssimazione è tanto maggiore quanto più numerose sono le prove eseguite. Un esempio di frequenza relativa in funzione del numero dei lanci di una moneta ottenuto mediante una simulazione con R è mostrato nella figura Prima che i computer fossero disponibili, G. A tale evento è possibile assegnare una probabilità P X x che al variare di x R definisce la funzione di ripartizione della v.

    Definizione Dato uno spazio di probabilità S, M, P è detta funzione di ripartizione o funzione di distribuzione della v. X la funzione F x. Sono riportati i risultati di quattro sequenze indipendenti. Proprietà La funzione di densità di probabilità di una v. Per una v. Esempio Nel caso dell esempio riguardante la v. Definizione La v. X definita su di uno spazio di probabilità S, M, P è una v. R Nel caso di una v. Possiamo pensare al. Nel caso di una v. Definizione Se X : S R è una v.

    Esempio Consideriamo l esperimento casuale in cui X è il numero di volte in cui si osserva testa in due lanci di una moneta onesta esempio?? Creiamo dunque una simulazione con un numero molto alto della v. Il vettore res viene inizializzato come un vettore vuoto e conterrà le realizzazioni della v. In ogni esecuzione del ciclo for viene registrato in res il valore prodotto dal lancio di un dado.

    In questo modo vengono creati i risultati di 50, lanci di un dado. X abbia una arbitraria funzione di densità f x. X e f x denota la verosimiglianza di ciascun valore.

    La verosimiglianza è il peso che associamo a ciascun valore x. Nel caso delle v. Il simbolo dx significa che, nel calcolo di questa somma pesata, facciamo variare i valori della variable X. In questo caso è ovvio, ma in generale le funzioni dipendono da più variabili e dunque è necessario specificare la variabile rispetto alla quale si intende eseguire l integrazione. Ovviamente, il calcolo degli integrali è difficile. Tuttavia, possiamo ottenere un risultato approssimativo utilizzando la tecnica di integrazione di Monte Carlo la quale è ampiamente usata in molte aree della matematica e dell ingegneria e che, concettualmente, è molto semplice.

    Supponiamo di conoscere la funzione di densità f x della v. È facile replicare questo risultato con R mediante la tecnica di integrazione di Monte Carlo. Consideriamo una v.

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    La densità di probabilità di X è rappresentata. Infatti, usando la Talvolta è necessario calcolare il valore atteso di una funzione di una v. Possiamo definire una nuova v. X assume il valore x. Teorema Sia X una v.

    Sia g una funzione. L equazione precedente è valida anche se le v. X i non sono statisticamente indipendenti. Esempio Il disturbo ossessivo-compulsivo è caratterizzato da pensieri, impulsi, immagini ricorrenti o persistenti, vissuti come intrusivi o inappropriati e che causano ansia o disagio, e da comportamenti ripetitivi che la persona si sente obbligata a mettere in atto secondo regole che devono essere applicate rigidamente.

    Considerata la popolazione degli individui ossessivo-compulsivi, sia X 1 la v. Supponiamo che il valore atteso di X 1 sia 0. Qual è il valore atteso di X 3? Definizione Si dice varianza di una v. Dunque la varianza è una media ponderata dei quadrati degli scarti fra ciascuna modalità ed il valore atteso della v. Definizione È molto utile la seguente formula alternativa per il calcolo della varianza.

    Usiamo R per generare una sequenza di valori della v. X non siano altro che la media e la varianza dei risultati di un grande numero in teoria, infinito di ripetizioni dell esperimento casuale. Osservazione Si noti la notazione scientifica 1e La teoria della probabilità ci dice che la varianza di una v. Per usare nuovamente la tecnica di integrazione di Monte Carlo calcoliamo la varianza tramite la formula alternativa della varianza. Esempio Sia X il numero di teste in due lanci di una moneta.

    Esempio Per la v. X dell esempio Esistono anche v. I concetti introdotti sono ovviamente generalizzabili a v. Il ragionamento si estende in modo ovvio per il caso n-dimensionale. Una rappresentazione grafica della distribuzione di probabilità congiunta e delle distribuzioni di probabilità marginali nel caso continuo è riportato in Figura Figura Esempio Consideriamo l estrazione di due numeri del lotto.

    Si calcoli la probabilità che vengano estratti due numeri consecutivi. Per assegnare una densità alla variabile Z notiamo che i possibili risultati sono tutte le coppie i, j dove i e j sono numeri fra uno e novanta diversi fra loro.

    Nell'impianto frenante pneumatico, il servodistributore a triplo comando è posto tra il distributore duplex e il servodeviatore modulato. Vero, Falso o Ci riununcio? Il vostro sogno è guidare un TIR o un autobus?

    Lo confessiamo apertamente: il prof. Mastri fa di tutto per evitare che diventiate come lui! Ayuda sobre accesibilidad. Iniciar sesión. Ahora no. Publicaciones de visitantes. Remi Tessaro. Daniele Guidi. WEBpatente compartió una publicación.


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